曲线网格与 Jacobian

二维数组有规整的行列编号，但这些编号对应的地理位置可以弯曲。曲线网格（curvilinear grid）将“数据在数组哪里”与“数据在空间哪里”分开保存。想象一张画着方格的橡皮膜：编号没变，形状、距离与方向都可能改变。

网格是一个从参数到位置的函数

令 ξ、η（读作 xi、eta）表示网格的参数坐标（parametric coordinates）。映射（mapping）写为 F(ξ,η)=(x,y)。规则网格可能只需原点与间距；曲线网格常为每个节点单独保存位置。

符号 / 英文	含义	本例单位
ξ,η / parametric coordinates	网格参数，各取 [0,1]	无量纲
x,y / physical coordinates	平面东向、北向位置	m
J / Jacobian matrix	映射在当前位置的变化率	m / 单位参数
det J / determinant	局部有向面积缩放	m² / 单位参数面积
J⁻¹ / inverse Jacobian	把空间小位移换回参数小位移	单位参数 / m

Jacobian 矩阵（Jacobian matrix，雅可比矩阵）把四个偏导数组成一张表：

$$J=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \xi }}& {\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \eta }}\\ {\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \xi }}& {\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \eta }}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right)\approx J\left(\begin{array}{c}d\xi \\ d\eta \end{array}\right)$$

两列分别告诉你：沿网格两个方向挪动一小步，会在物理空间朝哪边走、走多远。这与“矩阵的列是基向量”相连，只是基可能随位置变化。

手算一张斜网格

设 x=1000ξ+200η、y=500η。整个单位参数方格变成一个倾斜的平行四边形：

$$J=\left(\begin{array}{cc}1000& 200\\ 0& 500\end{array}\right),detJ=1000\times 500-200\times 0=500000$$

行列式（determinant）的绝对值表示局部面积缩放。因此整个网格面积为 500,000 m²，参数面积为 0.01 的小格面积为 5,000 m²。这个映射是仿射的，以上结果精确；非线性曲线网格中的 J 随位置变化，对有限小格使用单点 J 只是一种近似。

function physicalPosition(xi: number, eta: number) {
  return { x: 1000*xi + 200*eta, y: 500*eta }
}
function parameterVelocity(eastMps: number, northMps: number) {
  // 解 J × [dξ/dt,dη/dt] = [U,V]
  const etaPerSecond = northMps / 500
  const xiPerSecond = (eastMps - 200*etaPerSecond) / 1000
  return { xiPerSecond, etaPerSecond }
}
physicalPosition(0.5, 0.5) // {x:600,y:250} m
parameterVelocity(10, 5) // {xiPerSecond:0.008,etaPerSecond:0.01}

因此“把东向风 U 直接加到横向索引 ξ”通常不成立。需要先核对数据分量的定义，再处理基、尺度与单位。一些模型提供地理东/北分量，另一些提供沿网格方向的物理速度；后者也不必然等于参数变化率。

什么时候网格会折叠

如果 det J = 0，一个局部方向被压扁，映射无法局部求逆。若原来朝向一致的连续网格中，行列式穿过零并改变符号，可能产生翻折。统一为负的行列式也可能只是全局轴顺序反向，不能仅凭负号断言数据损坏。

实际三角网格可检查面积、绕序与相邻单元的一致性。局部非零行列式仍不能保证整个复杂映射没有全局重叠，还应检查边界和自交。反过来从世界位置寻找数据值，则需要定位包含该点的单元，再求局部坐标；规则经纬网格的除以间距公式不能直接套用。

本节使用平面米制坐标说明映射。若 F 输出经纬度，J 的分量是角度相对于参数的变化率，不能直接把其行列式解释为平方米；地球几何还需要额外换算。

自检：两个映射代表什么

F(ξ,η)=(ξ,−η) 的行列式为负，是否必然存在网格翻折？F(ξ,η)=(ξ,0) 又怎样？

答案与理由

第一个映射是完整镜像，始终可逆，没有局部折叠；只是方向与原约定相反。第二个把整张网格压成线，行列式为零，η 信息丢失，不能反解。判断时需要结合预期方向、连续性与网格几何。

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