矩阵、基与坐标变换

坐标系（coordinate system）像一份编码约定：原点在哪里，三根轴朝哪里，单位是什么。同一个物理箭头，在不同坐标系中会有不同的数字。矩阵（matrix）可以把这类编码转换写成可组合的函数。

一列就是一根新轴

基（basis）是一组用来表达所有向量的独立方向。标准基为 (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)。如果局部 X、Y、Z 轴在世界坐标中分别是 e₁、e₂、e₃，将它们作为矩阵的三列：

$$R=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{e}}_1& {\mathbf{e}}_2& {\mathbf{e}}_3\end{array}\right],R\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2+z{\mathbf{e}}_3$$

这就是矩阵乘向量的直觉：按三个坐标值缩放三根基向量，再相加。**坐标写成列向量（column vector）**是本书约定；换用行向量时，乘法的写法也要相应改变。

符号 / 英文	含义	单位或条件
R / rotation matrix	旋转矩阵	无量纲；列向量正交、为单位长度，且保持右手方向
t / translation	局部原点的世界位置	m
p / position	点的位置	m
Rᵀ / transpose	行列交换后的矩阵	纯旋转时等于 R⁻¹
R⁻¹ / inverse	撤销该变换的逆矩阵	矩阵可逆时存在

正交矩阵（orthogonal matrix）的列两两垂直且长度为 1；它既可以表示旋转，也可能包含镜像。纯旋转还必须保持坐标系的左右手方向，用行列式（determinant）表示就是 det(R)=+1。镜像的行列式为 −1；曲线网格一节会解释这个数的几何意义。

手算：旋转 90° 再平移

在平面内绕 Z 轴逆时针旋转 90°，局部 X 轴变为世界 Y 轴，局部 Y 轴变为世界负 X 轴：

$$R=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\mathbf{t}=\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 0\end{array}\right)\mathrm{m}$$$${\mathbf{p}}_{\mathrm{world}}=R{\mathbf{p}}_{\mathrm{local}}+\mathbf{t}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 22\\ 0\end{array}\right)\mathrm{m}$$

若先平移再旋转，结果是 R × (12,21,0) = (-21,12,0)。矩阵乘法通常不满足交换律（commutativity）。对列向量而言，T R p 先执行最右边的 R，再执行 T；可以把它读作函数调用 T(R(p))。

type Vec3 = readonly [number, number, number]
const rotate90 = ([x, y, z]: Vec3): Vec3 => [-y, x, z]
const toWorldPoint = (p: Vec3): Vec3 => {
  const r = rotate90(p)
  return [r[0] + 10, r[1] + 20, r[2]]
}
toWorldPoint([2, 1, 0]) // [9,22,0]
rotate90([2, 1, 0])    // 方向只旋转，不加原点位置

东—北—天参考系（East-North-Up frame，ENU）使用当前位置的东、北、椭球法线作为三根基。Cesium 的 eastNorthUpToFixedFrame 负责构造这项变换。数组的列主序存储（column-major storage）与列向量乘法约定有关联，但不是同一个概念；不要仅凭内存排列推断乘法顺序。

自检：怎样变回局部坐标

已知 p_world = R p_local + t，R 是纯旋转矩阵，能否写成 p_local = Rᵀ p_world − t？

答案与理由

一般不能。先减去平移，再撤销旋转：p_local = Rᵀ(p_world − t)。本例先用 (9,22,0)−(10,20,0)=(-1,2,0)，再顺时针转 90°，得到 (2,1,0)。有缩放或错切时，不能直接用转置代替逆矩阵。

下一步：地球、经纬度与高度。回到主课：局部坐标与 ENU。