齐次坐标与透视投影

把一根等长的杆移远，它在屏幕上会变短。这不是杆发生了缩放，而是投影（projection）改变了空间长度与屏幕长度的关系。理解这个过程，可以解释 gl_Position、视锥、裁剪以及屏幕拾取为何需要一条射线。

第四个分量先解决平移

三维矩阵乘法能表示旋转和缩放，却不能单独表达“所有点都加同一个偏移”。齐次坐标（homogeneous coordinates）为位置增加一个分量：点写成 (x,y,z,1)，方向写成 (vx,vy,vz,0)。四阶矩阵便能统一表示仿射变换（affine transformation）：

$$M=\left(\begin{array}{cc}R& \mathbf{t}\\ {\mathbf{0}}^{\mathsf{T}}& 1\end{array}\right),M\left(\begin{array}{c}\mathbf{p}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}R\mathbf{p}+\mathbf{t}\\ 1\end{array}\right)$$$$M\left(\begin{array}{c}\mathbf{v}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}R\mathbf{v}\\ 0\end{array}\right)$$

方向的 w=0，因此不受平移影响。

投影后 w 通常不再是 1。只要 w 非零，(x,y,z,w) 与 (x/w,y/w,z/w,1) 表达相同的有限三维位置。这次除法叫透视除法（perspective divide）；w 不是“额外的物理空间方向”。

名词 / 英文	在流程中的含义	单位或范围
观察空间 / view space	以相机为参考的坐标	本例为 m
裁剪空间 / clip space	投影矩阵输出的四维表示	尚未除以 w
标准化设备坐标 / normalized device coordinates, NDC	裁剪后除以 w 的坐标	WebGL 可见范围通常为各轴 [-1,1]
视口 / viewport	将 NDC 映射到绘图缓冲区的矩形	pixel
视场角 / field of view, FOV	相机能看到的张角	公式中为 rad

手算：距离翻倍，屏幕尺寸减半

采用相机朝向负 Z 轴的常见右手约定，设相机坐标中的点为 (x,y,z)，前方距离 d = −z > 0。设垂直视场角为 α，宽高比为 a，则：

$$f=\frac{1}{\tan (\alpha /2)},x_{\mathrm{ndc}}=\frac{f}{a}\frac{x}{d},y_{\mathrm{ndc}}=f\frac{y}{d}$$

画面为正方形、α=90° 时，f=a=1。点 (1,1,−2) 投影到 (0.5,0.5)；点 (1,1,−4) 投影到 (0.25,0.25)。距离翻倍后，它与屏幕中心的偏移减半。

function projectXY(x: number, y: number, z: number,
                   fovYRad: number, width: number, height: number) {
  const d = -z
  if (d <= 0) return null // 教学示例：不处理相机后方
  const f = 1 / Math.tan(fovYRad / 2)
  const ndcX = (f / (width / height)) * x / d
  const ndcY = f * y / d
  return {
    // 返回左上角为原点的绘图缓冲区坐标
    x: (ndcX + 1) * width / 2,
    y: (1 - ndcY) * height / 2,
  }
}
projectXY(1, 1, -2, Math.PI / 2, 800, 800) // {x:600,y:200}

这段代码只演示 XY 投影，不是完整渲染管线：没有裁剪三角形，没有计算深度，也没有处理 CSS 像素与绘图缓冲区像素之比。完整流程先在齐次裁剪空间处理视锥外的几何，再做透视除法和视口变换。Khronos 顶点后处理说明

为什么深度值不等于距离

近远平面（near/far planes）限制可见深度范围。常规透视投影后的深度包含 1/d 项，因此非线性地分配精度。把深度缓冲中的 0.5 当作“近远距离的中点”，通常会得到错误位置。Cesium 还可能采用多视锥、对数深度等策略，应使用匹配其渲染路径的重建方法。

自检：一个屏幕点对应哪个三维点

假设 x_ndc = 0.5，这是否唯一确定三维位置？将点的 w 从 2 改成 4 而保持裁剪坐标 x 不变，x_ndc 会怎样变化？

答案与理由

不能。多个深度上的点可落在同一屏幕位置，形成从相机出发的射线；还需要深度、地表或模型相交结果。第二问中 x_ndc 减半，因为它等于 x_clip / w_clip。

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