采样、插值与缺测

数据只记录有限位置的数值，屏幕像素却可能落在任意位置。采样（sampling）读取离散数据；插值（interpolation）根据已知样本估计样本之间的值。插值带来连续外观，也引入了对未知区域的假设。

先从两个数开始

设左端温度 10°C、右端温度 30°C。参数 s 表示从左到右的比例，s=0 在左端，s=1 在右端。线性插值（linear interpolation）为：

$$\mathrm{lerp}(a,b,s)=(1-s)a+sb$$

当 s=0.25，值为 0.75×10 + 0.25×30 = 15°C。两个权重（weights）和为 1；当 s 在 [0,1] 内时，权重非负，结果不会超出端点范围。超出此范围叫外推（extrapolation），保证也随之改变。

符号 / 英文	含义	单位
s,t / local coordinates	单元内横向、纵向比例	无量纲，通常 [0,1]
f00,f10,f01,f11 / samples	左下、右下、左上、右上样本	例如 °C
wij / weights	四个样本的贡献比例	无量纲
mi / validity mask	样本是否有效	0 或 1

双线性是做三次一维插值

双线性插值（bilinear interpolation）先在下边和上边各插一次，再沿纵向插值：

$$\begin{array}{rl}a& =\mathrm{lerp}(f_{00},f_{10},s),\\ b& =\mathrm{lerp}(f_{01},f_{11},s),\\ f& =\mathrm{lerp}(a,b,t).\end{array}$$$$\begin{array}{rlrl}{w}_{00}& =(1-s)(1-t),& w_{10}& =s(1-t),\\ w_{01}& =(1-s)t,& w_{11}& =st.\end{array}$$

取四角 0、10、20、30°C，在 (s,t)=(0.25,0.5) 时，权重是 0.375、0.125、0.375、0.125，结果为 12.5°C。它对 s 和 t 分别线性，但一般含有 s×t 项，因此并非总是一张平面。

const lerp = (a: number, b: number, s: number) => (1-s)*a + s*b
function bilinear(values: readonly number[], s: number, t: number) {
  if (values.length !== 4 || !values.every(Number.isFinite)) return null
  if (s < 0 || s > 1 || t < 0 || t > 1) return null
  const [f00, f10, f01, f11] = values
  return lerp(lerp(f00, f10, s), lerp(f01, f11, s), t)
}
bilinear([0, 10, 20, 30], 0.25, 0.5) // 12.5

缺测不是零度

缺测（missing data）表示不知道，零则是一个确定数值。若右上角缺测，直接填 0 会拉低结果。常见策略有两种：任何角点缺测就返回无效；或者只对有效邻居重新归一化权重，计算 Σ(wi mi fi) / Σ(wi mi)。

后一种策略在上述例子中给出 (1.25+7.5)/0.875 = 10°C，但它已不再是原来的完整双线性场，可能跨越缺测边界产生误导。没有通用正确选择：陆海边界、观测空洞和纯显示遮罩可能需要不同策略；策略必须在底色、等值线和拾取读值之间一致。

数组下标与纹理坐标有半格差异

假设 n 个数据节点包含区域的两个端点，第 i 个节点的地理比例为 i/(n−1)。把它们各存为一个纹素（texel）后，第 i 个纹素中心的归一化纹理坐标是 (i+0.5)/n。二者不是同一个数。

对 n=4，节点比例是 0、1/3、2/3、1；纹素中心是 0.125、0.375、0.625、0.875。若使用硬件线性过滤，可将地理比例 q 映射为 u=(q(n−1)+0.5)/n。若数据代表单元中心而非节点，映射应重新定义。经纬度空间中的插值也不等于按地表米制距离插值。

自检：平滑与可信度

四角为 0、0、0、100，中心是多少？如果 100 是地类编号，能否采用同样做法？

答案与理由

有效连续标量的中心是 25。地类编号是分类量（categorical data），25 不代表两类之间的自然状态，应使用最近邻或明确的分类汇聚规则。画面平滑程度不代表数据分辨率或准确度。

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