标量场、向量场与导数

如果一个函数输入位置、输出一个温度，它就是标量场（scalar field）；输出一支风速箭头，则是向量场（vector field）。“场”不要求先掌握高等数学，可以先把它看作带有空间坐标和时间参数的函数。

temperature(x,y,t) → 一个数
wind(x,y,t)        → 两个速度分量 (u,v)

坐标、输出单位、参考系与有效范围都是函数契约的一部分。真实场通常只能通过离散样本近似；合成场可以直接用解析函数（analytic function）生成，特别适合检验算法。

导数：把“增加多少”除以“走了多远”

导数（derivative）描述局部变化率。若沿东向 100 m，温度升高 0.2°C，平均变化率就是 0.2/100 = 0.002°C/m。把测量间隔逐渐缩小，理想极限就是该点的导数；工程中常用有限差分（finite difference）近似它。

偏导数（partial derivative）只改变一个输入，其余保持不变。∂T/∂x 表示时间和 y 不变时，沿 x 方向的温度变化率。“∂”读作偏导符号；它并不是另一种温度单位。

符号 / 英文	含义	本例单位
T / scalar field	平面温度场	°C
x,y / coordinates	向东、向北的距离	m
∂T/∂x / partial derivative	向东变化率	°C/m
∇T / gradient	两个变化率组成的梯度	°C/m
δ / finite-difference step	用来估计变化率的空间步长	m

手算：沿哪个方向升温最快

取 T(x,y)=10 + 0.002x + 0.001y。x、y 的单位是米，两个系数的单位为 °C/m。由函数直接得到梯度（gradient）：

$$\mathrm{\nabla }T=(\frac{\partial T}{\partial x},\frac{\partial T}{\partial y})=(0.002,0.001){}^{\circ }\mathrm{C}/\mathrm{m}$$$$\Vert \mathrm{\nabla }T\Vert \approx 0.002236{}^{\circ }\mathrm{C}/\mathrm{m}$$

梯度方向是局部升温最快的方向，约为东偏北 26.6°。向东走 100 m 升高 0.2°C；沿梯度单位方向走 100 m，在这个线性场中升高约 0.2236°C。沿单位方向 d 的变化率是 ∇T·d，把之前的点积连接到了空间分析。

const temperature = (x: number, y: number) => 10 + 0.002*x + 0.001*y
function gradient(x: number, y: number, deltaMetres: number) {
  if (deltaMetres <= 0) throw new Error('差分步长必须为正')
  return [
    (temperature(x+deltaMetres, y) - temperature(x-deltaMetres, y))
      / (2*deltaMetres),
    (temperature(x, y+deltaMetres) - temperature(x, y-deltaMetres))
      / (2*deltaMetres),
  ]
}
gradient(100, 200, 10) // 约[0.002,0.001]，单位°C/m

这是中心差分（central difference）。在离散网格边缘，左右样本可能不齐，需要边界策略；缺测和噪声也会影响差分。经纬度以度为单位时，直接做差得到的是“每度变化率”，不能当作“每米变化率”。

等值线与风的旋转：理解即可

等值线（contour / isoline）是满足 T(x,y)=c 的位置集合。在梯度非零且场光滑的地方，等值线与梯度垂直。沿等值线走温度不变，因此该方向与梯度点积为零。平坦区的梯度为零，不能据此定义唯一的等值线方向。

散度（divergence）∂u/∂x + ∂v/∂y 描述局部向外流出的趋势；二维旋度的垂直分量（vertical curl）∂v/∂x − ∂u/∂y 描述局部旋转趋势。两者单位都是 1/s。本式适用于同一平面米制坐标与相应分量；球面和曲线网格需要考虑几何。会画出涡旋不代表合成风场满足大气动力学方程。

自检：梯度与等值线

对 T=10+0.002x+0.001y，向 (1,−2) 的方向走时，温度是否改变？把网格间距从 100 m 改成 1000 m，有限差分的分母能否保持不变？

答案与理由

不改变：(0.002,0.001)·(1,−2)=0，这是等值线方向。分母必须随实际距离改变，否则导数的数值与单位解释都会错误。

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